二进制的补码和反码表示法

二进制表示法是计算机中表示数值的核心方式，尤其是在表示有符号整数时，常见的表示法有原码、反码和补码。其中，补码和反码是处理负数时最常用的两种方法。补码是现代计算机中普遍采用的方式，具有简化加法和减法运算的优点。

一、原码（Sign-Magnitude）表示法

在介绍补码和反码之前，首先了解一下原码表示法。原码是最简单的二进制表示方法，符号位使用最高位（最左边的一位）来表示符号，0表示正数，1表示负数，其余位表示数值大小。

• 正数的原码与其绝对值的二进制表示相同。
• 负数的原码最高位为1，其余位表示其绝对值的二进制表示。

例子：

• 8位的原码表示
  • 正数 5：00000101 （符号位 0 表示正数，剩余部分表示数值 5）
  • 负数 -5：10000101 （符号位 1 表示负数，剩余部分表示数值 5）

原码有一个问题：加减法运算比较复杂，因为对于负数的加法和减法需要分别处理符号和数值部分。

二、反码（Ones' Complement）表示法

反码表示法解决了原码中的一些问题。反码的表示方式是：

• 正数的反码与原码相同。
• 负数的反码是对其原码中的每一位进行取反，即符号位不变，其余位取反。

1. 反码表示法的规则

• 正数：反码和原码相同。
• 负数：将原码除符号位外的所有位取反，得到负数的反码。

例子：

• 8 位的反码表示
  • 正数 5：原码是 00000101，反码也是 00000101。
  • 负数 -5：
    • 原码：10000101
    • 反码：11111010（将原码中除符号位外的每一位取反）

2. 反码运算

• 反码的加法仍然有进位问题。特别是在表示负数时，两个负数的加法容易产生溢出，因此计算不如补码方便。

三、补码（Two's Complement）表示法

补码是现代计算机中最常用的表示方法，它比原码和反码更具优越性。补码的计算方式是：

• 正数的补码与原码相同。
• 负数的补码是对其绝对值的二进制表示取反后，再加上 1。

补码的优势在于，加法和减法运算可以统一处理，不用考虑符号位。

1. 补码表示法的规则

• 正数的补码与原码相同。
• 负数的补码为：
  1. 取该数的原码。
  2. 对原码取反。
  3. 在取反后的结果上加 1。

例子：

• 8 位的补码表示
  • 正数 5：
    • 原码：00000101
    • 补码：00000101（与原码相同）
  • 负数 -5：
    • 原码：10000101
    • 反码：11111010（原码取反）
    • 补码：11111011（反码加1）

2. 补码的加法与减法

• 加法：在补码中，正数与负数的加法可以直接进行，不需要考虑符号位。
• 减法：减法也可以通过将被减数的补码加到减数上来实现。

3. 补码的范围

• n 位补码可以表示的整数范围是：-2^(n-1) 到 2^(n-1) - 1。
  • 例如，8 位补码的范围是：-128 到 127。
  • 16 位补码的范围是：-32768 到 32767。

例子：

• 8 位补码
  • 最大正数：01111111，表示 127
  • 最小负数：10000000，表示 -128
  • 最大负数：11111111，表示 -1

四、补码、反码与原码的比较

五、总结

• 原码、反码、补码是三种常见的有符号数表示法。
• 补码是计算机中最常用的表示法，因为它简化了加法和减法的运算。
• 反码和原码在表示负数时需要特别处理符号位和进位，计算比较麻烦。
• 在现代计算机中，大多数运算，特别是加法和减法，都是使用补码来进行处理的。