逻辑回归：Sigmoid函数、损失函数计算与优化方法

逻辑回归是一种用于分类任务的回归模型，尤其广泛应用于二分类问题（例如，判断一个电子邮件是否为垃圾邮件、预测一个用户是否会购买产品等）。它的核心思想是通过输入特征来预测类别的概率值，而非直接预测类别本身。逻辑回归使用Sigmoid函数将线性回归的输出映射到一个概率值范围（0到1），使得模型能够进行分类。

本文将介绍逻辑回归的关键概念：Sigmoid函数、损失函数的计算方法，以及通过梯度下降进行优化的过程。

1. Sigmoid函数

1.1 Sigmoid函数基本原理

Sigmoid函数（又称逻辑函数）是一个S形的曲线，广泛应用于逻辑回归中，用于将线性回归模型的输出值映射到0到1之间的概率值。Sigmoid函数的公式如下：

σ(z) = 1 / (1 + exp(-z))

其中：

• z 是线性回归模型的输出，通常形式为 z = w1 * X1 + w2 * X2 + ... + wn * Xn + b，即输入特征的加权和。
• σ(z) 是Sigmoid函数的输出，表示类别为1的概率值。

Sigmoid函数的输出值总是介于0和1之间，这使得它非常适合用于二分类任务，表示某个样本属于类别1的概率。如果概率值大于0.5，可以将样本分类为类别1，否则分类为类别0。

1.2 Sigmoid函数的图形

Sigmoid函数的图形呈S形，输入值z越大，输出值越接近1；输入值z越小，输出值越接近0。

2. 损失函数：对数损失函数（Log-Loss）

2.1 逻辑回归的损失函数

在逻辑回归中，我们希望通过最小化损失函数来优化模型的参数。与回归模型的均方误差不同，逻辑回归使用对数损失函数（Log-Loss）来衡量模型预测的准确性。其公式为：

L(y, ŷ) = -[y * log(ŷ) + (1 - y) * log(1 - ŷ)]

其中：

• y 是样本的真实标签，取值为0或1；
• ŷ 是模型的预测概率值，即Sigmoid函数的输出。

该损失函数的含义是：如果真实标签y为1，模型应该尽可能预测ŷ为1；如果真实标签y为0，模型应该尽可能预测ŷ为0。对数损失函数的目标是最小化预测概率与真实标签之间的差距。

2.2 对数损失函数的解释

• 如果预测值ŷ接近真实标签y，损失较小，log(ŷ)或者log(1-ŷ)的值也较小，最终损失较小。
• 如果预测值ŷ与真实标签y相差较大，损失较大，log(ŷ)或者log(1-ŷ)的值趋向于负无穷大，从而损失函数的值会非常大。

因此，通过最小化对数损失函数，我们能够优化模型参数，使得模型的预测更加准确。

3. 梯度下降法：优化模型

3.1 梯度下降法基本原理

梯度下降法是一种常用的优化算法，通过迭代更新模型参数，使得损失函数的值逐渐减小，从而找到损失函数的最小值。在逻辑回归中，我们使用梯度下降法来优化回归系数（w1, w2, ..., wn）和偏置项（b）。

梯度下降法的更新规则如下：

w_j = w_j - α * ∂L/∂w_j
b = b - α * ∂L/∂b

其中：

• w_j 是模型参数，表示第j个特征的权重；
• α 是学习率，控制每次更新的步长；
• L 是损失函数；
• ∂L/∂w_j 和 ∂L/∂b 分别是损失函数对w_j和b的偏导数。

3.2 梯度计算

损失函数的梯度是损失函数关于参数（w_j和b）的导数。对于逻辑回归中的对数损失函数，偏导数的计算如下：

3.2.1 对回归系数w_j的偏导数

∂L/∂w_j = 1/n * Σ (ŷ_i - y_i) * X_j

其中：

• ŷ_i 是样本i的预测概率值；
• y_i 是样本i的真实标签；
• X_j 是样本i的第j个特征值。

3.2.2 对偏置项b的偏导数

∂L/∂b = 1/n * Σ (ŷ_i - y_i)

通过计算上述偏导数，梯度下降法会不断更新w_j和b，直到找到能够最小化损失函数的参数。

3.3 批量梯度下降与随机梯度下降

在实际应用中，梯度下降法有多种变体，其中常见的有批量梯度下降和随机梯度下降（SGD）。

• 批量梯度下降：使用所有样本计算梯度并更新参数，适用于小规模数据集。
• 随机梯度下降（SGD）：每次只用一个样本计算梯度并更新参数，适用于大规模数据集，收敛速度较快。

4. 逻辑回归训练过程

逻辑回归的训练过程可以简述为以下几个步骤：

1. 初始化模型参数（w 和 b）为随机值或零；
2. 计算预测值：通过输入特征X和当前模型参数，使用Sigmoid函数计算每个样本的预测概率值ŷ；
3. 计算损失：使用对数损失函数计算当前模型的损失；
4. 计算梯度：计算损失函数对每个模型参数的偏导数；
5. 更新参数：使用梯度下降法更新模型参数；
6. 重复步骤2至步骤5，直到损失收敛。

5. 总结

• Sigmoid函数将线性回归的输出映射到0到1之间，适用于二分类问题；
• 对数损失函数（Log-Loss）是逻辑回归的损失函数，用于衡量预测概率与真实标签之间的差距；
• 梯度下降法通过计算损失函数的梯度来优化模型参数，不断更新权重和偏置项，直到损失最小。

通过掌握这些概念，我们可以有效地训练和优化逻辑回归模型，从而在二分类问题中获得较好的性能。